Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
ZADANIA•1.LICZBYRZECZYWISTE
1.2.4.Korzystajączzależnościmiędzyśredniąarytmetycznąiśredniągeome-
tryczną(Gn≤An),wykazaćnierównośćBernoulliego
(1+x)n≥1+nx
dla
x>0.
1.2.5.Udowodnić,żedladowolnejliczbynaturalnejnprawdziwesąnierówności:
(a)
n
1
+
n+1
1
+
n+2
1
+...+
2n
1
>
2
3
,
(b)
n+1
1
+
n+2
1
+
n+3
1
+...+
3n+1
1
>1,
(c)
1
2
<
3n+1
1
+
3n+2
1
+...+
5n
1
+
5n+1
1
<
2
3
,
(d)n(
√n+1−1)<1+
n
1
2
+...+
n
1
<n(1−1
n
√n+1
+
n+1),n>1.
1
1.2.6.Wykazać,żedlax>0in∈Nmamy
1+x+x2+x3+...+x2n
≤
2n+1
1
.
xn
1.2.7.Niech{an}będzieciągiemarytmetycznymowyrazachdodatnich.Wyka-
zaćnierówność
√a1an≤n
√a1a2·...·an≤
a1+an
2
.
1.2.8.Udowodnićnierówność
√n≤
√n!≤
n
n+1
2
,
n∈N.
1.2.9.Udowodnić,żejeśliliczbydodatnieak,kl1,2,...,n,spełniająwarunek
Σ
n
k=1ak≤1,to
k=1
Σ
n
ak
1
≥n2.
1.2.10.Załóżmy,żeak>0,kl1,2,...,n,orazn>1.Wykazać,żejeślisl
Σ
n
k=1ak,to
(a)n(
k=1
Σ
n
s1ak)
ak
11
≤n−1≤
1
n
k=1
Σ
n
s1ak
ak
,
(b)
k=1
Σ
n
s1ak
s
≥
n11
n2
,
(c)n(
k=1
Σ
n
s+ak)
ak
11
≥n+1.
1.2.11.Pokazać,żejeśliak>0,kl1,...,n,oraza1a2·...·anl1,to
(1+a1)(1+a2)·...·(1+an)≥2
n.
1.2.12.UdowodnićnastępującąnierównośćCauchy’ego:
Dladowolnychliczbrzeczywistychak,bk,kl1,2,...,n,prawdziwajestnie-
równość
(n
k=1
Σ
akbk)
2
≤
k=1
Σ
n
a2
k
k=1
Σ
n
b2
k.
