Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
odcinekkońcowyopoczątkub.Zwróćmyuwagę,żejeślia<bjestskokiem,to
odcinek[a,b]redukujesiędozbiorudwuelementowego{a,b}.
Prostepojęciowozbiory,jakimisąprzedzia-
ły,odcinkiipółodcinki,wymagajądużejuwagi
wposługiwaniusięnimiwsytuacji,gdyupo-
Rys.5.Dwasąsiednieskokiwyznacza-
jąprzedział,którymożebyć1jako
rządkowaniemaskoki,atakże,kiedymaluki.
zbiór1odcinkiem
Zbiorywypukłe
Podzbiórzbioruuporządkowanegonazywamywypukłym,jeśliwrazzkaż-
dymidwomapunktamizawierawszystkiepunktyleżącemiędzynimi,awięc
jeśliwrazzpunktamiaibzawieraodcinek[a,b]tegouporządkowania.
Wszystkierodzajeprzedziałów,odcinkówipółodcinkówsąpodzbiorami
wypukłymi.
Zbiorywypukłestanowiąszerszyzakreszbiorówniżwymienionedotądroz-
maiterodzajeodcinków,bonp.podzbiór{w:w2<2}zbioruliczbwymiernych
dodatnichniejestaniprzedziałem,aniodcinkiem,anipółodcinkiemtegozbioru,
będącjegopodzbioremwypukłym.Ale:
Twierdzenie.Jeśliuporządkowaniezbioruniemaluk,topodzbiórwypukły
tegozbioru,jeśliniejestzbiorempustymlubcałością,jestodcinkiem,odcinkiem
początkowymlubkońcowym,przedziałem,przedziałempoczątkowymlubkońco-
wym,lubjednymzpółodcinków.
Dowód.NiechWbędziepodzbioremwypukłymzbioruXuporządkowanego
bezluk.Pokażemynajpierw,żeprzedział(a,b),gdzieajestkresemdolnym,
ab1kresemgórnymzbioruW(dopuszczająca=−∞ib=∞,jeślizbiórWnie
jestograniczonyzdołubądźzgóry),jestzawartywzbiorzeW(istnieniewspo-
mnianychkresówwynikaznieistnienialuk).
Dladowoduzapowiedzianegozawieraniaweźmyx,a<x<b.Zwłasności
kresówwynikaistnieniewzbiorzeWpunktówa’ib’takich,żea<a’<x<b’
<b.Wobecwypukłościodcinek[a’,b’]jestzawartywW.StądxÎW.
JeślikresynienależądoW,toW=(a,b).JeśliktóryśzkresównależydoW,
toW=[a,b],W=[a,b)lubW=(a,b](dopuszczamya=-∞ib=∞wprzy-
padkunieistnieniaograniczeniazdołubądźzgóry;jeśliniemażadnegoztych
ograniczeń,toW=X).
NiechAbędziepodzbioremzbioruuporządkowanegoX.Składowymiwypuk-
łościzbioruAwzbiorzeXnazywamymaksymalnepodzbiorywypukłezbioruX
zawartewA.Składowewypukłościzbiorusąrówne,jeślimająpunktwspólny.
SkładowewypukłościzbioruAstanowiąwięcrozbiciezbioruAnamaksymalne
podzbiorywypukłezbioruXzawartewA.
15
