Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
TwierdzeniecałkoweCauchy’ego
27
Sformułowanepowyżejtwierdzenieodnosisiędoobszarówjednospójnych,awięc
takichktórychbrzegjestjednąkrzywą,albo–mówiącściśle–takich,którychbrzeg
możnanściągnąć”(skurczyć)dopunktu,awoperacjinściągania”biorąudział
wyłączniepunktywewnętrznedanegoobszaru.(Por.rysunek1.11).Dlaobszarów
Rysunek1.11:KonturΓwjednospójnymobszarzeanalitycznościDz.
wielospójnych–takichjaknarysunku1.12(a)–uogólnienietwierdzeniaCauchy’ego
ilustrujeczęść(b)rysunku.Wynikazniego,żeiwtymprzypadkucałkawokółkon-
turuzamkniętegof
ABCDEFG
f(z)dz=0.Całkiponprostych”elementachkonturu
–łącznikachGAiDEsąrównecodowartościbezwzględnej,leczróżniąsięzna-
kiem,awięcichwspólnyprzyczynekdocałkijestrównyzeru.Analogicznąsytuację
mamyteżdlacałekpokonturze,zewnętrznym”ABCDinwewnętrznym”EFG.
1.7.1
TwierdzeniecałkoweCauchy’ego–konsekwencje
RozważmyjednospójnyobszarDz,awnimcałkę
F(z)≡/
z0
z
f(z
/)dz/
(1.34)
(por.rysunek1.13).Zakładamy,żefunkcjaf(z)jestwobszarzeDzfunkcjąanali-
tyczną.NamocytwierdzeniacałkowegoCauchycałka(1.34)niezależyodwyboru
krzywejłączącejpunktyzoizijestjednoznacznąfunkcjąz.Wodległości∆zod
punktuzwybierzmypunktz+∆ziutwórzmyróżnicę
F(z+∆z)−F(z)=/
z
z+∆z
f(z
/)dz/j
