Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
11
(i)Mamy1∈A,gdyż1=
(1+1)·1
2
oraz1∈N.
(ii)(z.ind.)1+2+...+n=
(n+1)n
2
orazn∈N.
(t.ind.)1+2+...+(n+1)=
[(n+1)+1](n+1)
2
.
Mamy1+2+...+(n+1)=(1+2+...+n)+n+1
z.śnd.
=
(n+1)n
2
+n+1=
(n+1)n+2(n+1)
2
=
(n+2)(n+1)
2
,atojestteząindukcyjną.Namocyzasadyindukcji
matematycznejrówność
1+2+...+n=
(n+1)n
2
zachodzidlakażdejliczbynaturalnej.I
Znak
z.śnd.
=sygnalizuje,żewtymmiejscupowołaliśmysięnazałożenieindukż
cyjne.SymbolIoznaczakoniecdowodu.
ZasadaindukcjimatematycznejdlazbioruNoprzyjmujepostaćzdania)
∀A⊂N
0[(0∈Ai∀n(n∈A⇒n+1∈A))⇒A=No].
Dziękizasadzieindukcjimatematycznejopróczdowodówindukcyjnych
możliwesąteżdefinicjeindukcyjne.
Definicja1.1(potęgaowykładnikuzezbioruNo)
{(i)ł
(ii)∀n∈N
o:=1,
0łn+1:=łn·ł.
Liczbałwpowyższejdefinicjimożebyćdowolnąliczbązespoloną(wszczególż
nościliczbąnaturalnąlubzerem).Zdefiniowaliśmywtensposóbpotęgęłn
dlakażdejliczbynzezbioruNo.Abysięotymprzekonać,wystarczyokreślić
zbiór
A:={n∈No:ł
njestzdefiniowane}
izastosowaćdoniegozasadęindukcjimatematycznej.
Definicja1.2(silnia)
{0!:=1,
∀n∈N
0(n+1)!:=n!·(n+1).
Takokreślonaliczban!(czytamy)ensilnia)dlan∈Njestiloczynemkolejż
nychliczbnaturalnychod1don.
