Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Relacjerównoważności
17
Twierdzenie1.10.JeśliRjestrelacjąrównoważnościwzbiorzeX,tozacho-
dząnastępującewarunki:
(1)dladowolnychxjg∈X,jeśli[x]R∩[g]R/=∅,to[x]R=[g]R,
(2)U{[x]R:x∈X}=X.
Dowód.(1):Ustalmydowolnez∈[x]R∩[g]R.Jeśliu∈[x]R,touRx.Wówczas
uRg,boxRzizRg.Zatemu∈[g]R,awięc[x]R⊆[g]R.Analogiczniedowodzi
się,że[g]R⊆[x]R.
(2):Własnośćtajestoczywista,gdyżx∈[x]Rdlakażdegox∈Xoraz
[x]R⊆X.
Własność(1)powyższegotwierdzeniamówi,żejeśliklasyabstrakcjisąróżne
jakozbiory,tosąrozłączne.Takwięcrodzinaklasabstrakcjirelacjirównoważności
wniepustymzbiorzeXwyznaczarozbiciezbioruX,tj.takąrodzinępodzbiorów
niepustych,którejelementysąparamirozłączne,aichsumadajecałyzbiórX.
Dokładniej:rodzinaA⊆D(X)\{∅}jestrozbiciemzbioruX,gdyspełnianastę-
pującewarunki:
(a)jeśliAjB∈AorazA/=B,toA∩B=∅j
(b)UA=X.
Rozbicianazywanesątakżepodziałami.Okazujesię,żekażderozbiciewyznacza
pewnąrelacjęrównoważności.
Twierdzenie1.11.JeśliAjestrozbiciemzbioruX,toistniejetakarelacja
równoważnościRwzbiorzeX,żezbiórklasabstrakcjirelacjiRjestrównyrodzi-
nieA.
Dowód.RelacjęRokreślimywnastępującysposób:xRg,jeślielementyxoraz
gnależądotegosamegozbioruA∈A.Zwrotnośćisymetriatakzdefiniowanej
relacjisąoczywiste.JeślixRgorazgRz,toistniejątakiezbioryAjB∈A,że
xjg∈Aorazgjz∈B.JednakżezrozłącznościzbiorówrodzinyAwynika,że
A=B,bog∈A∩B.StądxRz,cooznacza,żeRjestrelacjąprzechodnią.
Pozostajezauważyć,że
[x]R=A∈Aj
jeślitylkox∈A.
Nietrywialnychprzykładówrelacjirównoważnościdostarczająfunkcje.Jeśli
f:XąYjestfunkcjązezbioruXnazbiórY(tzn.dom(f)=Xorazrng(f)=
Y),torelacjaRf⊆X×Xzadanawzorem:
xRfgjjeślif(x)=f(g)
jestrelacjąrównoważnościwzbiorzeX.Okazujesię,żezbiórYmożnawówczas
utożsamićzezbioremklasabstrakcjirelacjiRf.Mówiotymnastępującetwier-
dzenie:
Twierdzenie1.12.Dlakażdejfunkcjif:XąY,takiejżerng(f)=Yistnie-
jetakafunkcjaróżnowartościowag:X/RfąY,żerng(g)=Yorazf=goqR
f.
