Teoria mnogości

Aleksander Błaszczyk, Stanisław Turek

Uzyskaj dostęp

Zakup książkę

ISBN/ISSN:

978-83-01-15232-1

DOI:

Wydawnictwo:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania:

2007

Liczba stron:

468

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Bibliografia:

Błaszczyk, Aleksander; Turek, Stanisław. Teoria mnogości. Red. . Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007, 468 s. ISBN 978-83-01-15232-1

Bibliografia refWorks:

RT Book, Whole

SR Electronic(1)

A1 Błaszczyk, A.

A1 Turek, S.

T1 Teoria mnogości

PB Wydawnictwo Naukowe PWN

PP Warszawa

YR 2007

SN 978-83-01-15232-1

Bibliografia BibTex:

@Book{ 488, author = "Błaszczyk, Aleksander and Turek, Stanisław", editor = "", title = "Teoria mnogości", publisher = "Wydawnictwo Naukowe PWN", year = "2007", address = "Warszawa", isbn = "978-83-01-15232-1" }

Bibliografia endNote:

TY - BOOK

AU - Błaszczyk, Aleksander

AU - Turek, Stanisław

ED -

TI - Teoria mnogości

PB - Wydawnictwo Naukowe PWN

CY - Warszawa

PY - 2007

SN - 978-83-01-15232-1

ER -

Netografia (standard APA):

Błaszczyk, Aleksander; Turek, Stanisław. Teoria mnogości [baza danych online] Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007 [dostęp: 07 07 2024]. Dostęp w Ibuk Libra: https://libra.ibuk.pl/reader/teoria-mnogosci-aleksander-blaszczyk-488.

matematyka, własności zbiorów, relacje, teoria mnogości

Nowoczesny podręcznik teorii mnogości. Składa się z czterech części.

Część 1 – elementarny wykład ze wstępu do matematyki.

Część 2 – aksjomatyczna teoria mnogości, arytmetyka liczb porządkowych i liczb kar...

Więcej

ISBN/ISSN:

978-83-01-15232-1

DOI:

Wydawnictwo:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania:

2007

Liczba stron:

468

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Wstęp10
Wykaz oznaczeń14
1. Zbiory, relacje, funkcje20
Elementarna teoria mnogości20
1.1. Zbiory20
1.2. Relacje i funkcje25
1.3. Relacje równoważności33
Komentarze35
2. Porządki37
2.1. Zbiory uporządkowane i liniowo uporządkowane37
2.2. Lemat Kuratowskiego-Zorna45
2.3. Relacje dobrze porządkujące. Twierdzenie Zermelo48
2.4. Porządek leksykograficzny50
2.5. Przekroje Dedekinda52
Komentarze55
3. Zbiór liczb naturalnych i wymiernych57
3.1. Liczby naturalne57
3.2. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję59
3.3. Działania w zbiorze liczb naturalnych63
3.4. Liczby wymierne nieujemne69
Komentarze73
4. Ciało liczb rzeczywistych75
4.1. Liczby rzeczywiste nieujemne75
4.2. Działania w z biorze liczb rzeczywistych nieujemnych76
4.3. Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych81
5. Równoliczność84
5.1. Równoliczność zbiorów84
5.2. Zbiory skończone89
5.3. Zbiory przeliczalne97
5.4. Zbiory nieprzeliczalne101
5.5. Charakteryzacja porządkowa zbioru liczb rzeczywistych104
Komentarze108
6. Aksjomaty114
Aksjomatyczna teoria mnogości114
6.1. Teoria mnogości jako teoria pierwszego rzędu114
6.2. Aksjomaty teorii mnogości ZFC116
Komentarze122
7. Liczby porządkowe124
7.1. Zbiory tranzytywne i liczby porządkowe124
7.2. Liczba , liczby porządkowe skończone129
7.3. Typy porządkowe zbiorów dobrze uporządkowanych132
7.4. Rekursja pozaskończ ona i hierarchia zbiorów135
7.5. Arytmetyka liczb porządkowych143
Komentarze156
8. Liczby kardynalne158
8.1. Liczba kardynalna zbioru158
8.2. Sumai iloczyn liczb kardynalnych162
8.3. Liczby kardynalne regularne i singularne167
8.4. Potęgowanie liczb kardynalnych170
Komentarze176
9. Własności kombinatoryczne zbiorów180
9.1. Zbiory prawie rozłączne, luka Hausdorffa180
9.2. Relacje podziałowe, twierdzenie Ramseya189
9.3. Zbiory stacjonarne, twierdzenie Erdösa-Rado197
9.4. Aksjomat Martina204
Komentarze209
10. Kraty218
Klasyczne konstrukcje teorii mnogości218
10.1. Kraty dystrybutywne218
10.2. Homomorfizmy krat223
10.3. Filtry i ideały228
10.4. Kraty Boole´a232
Komentarze237
11. Topologie244
11.1. Przestrzenie topologiczne244
11.2. Przestrzenie metryczne260
11.3. Przestrzenie zwarte278
11.4. Produkty i kostki288
11.5. Przestrzenie Stone´a298
Komentarze307
12. Drzewa313
12.1. Drzewa a zbiory liniowo uporządkowane313
12.2. Drzewa Aronszajna317
12.3. Drzewa Suslina321
Komentarze325
13. Miary328
13.1. Miara Lebesgue´a na prostej328
13.2. Miary na -ciałach341
13.3. Miara a liczby kardynalne346
Komentarze353
14. Algebry Boole´a359
14.1. Reprezentacje algebr Boole´a359
14.2. Algebry zupełne, uzupełnienie algebr Boole´a365
14.3. Algebry wolne, zbiory niezależne369
14.4. Algebry ilorazowe375
14.4.1. Algebra (?)/ Fin wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych modulo ideał zbiorów skończonych376
14.4.2. Algebra zbiorów borelowskich modulo ideał zbiorów I kategorii378
14.4.3. Algebra ilorazowa zbiorów borelowskich modulo ideał zbiorów miary zero380
14.5. Miary na algebrach Boole´a382
Komentarze385
15. Teoria Ramseya390
15.1. Półgrupy zwarte390
15.2. Twierdzenie Hindmana393
15.3. Twierdzenie Halesa-Jewetta i twierdzenie van der Waerdena397
Komentarze404
16. Równoważne wersje pewnika wyboru410
Wokół pewnika wyboru410
16.1. Wybór wielokrotny410
16.2. Twierdzenie o istnieniu bazy w przestrzeni liniowej412
16.3. Twierdzenie Tichonowa o produkcie415
16.4. Twierdzenie Tarskiego o ultrafiltrze w kratach415
Komentarze416
17. Słabsze wersje pewnika wyboru419
17.1. Twierdzenie o ideale pierwszym419
17.2. Zasada wyborów zależnych a przeliczalny pewnik wyboru425
17.3. Aksjomat determinacji432
Komentarze444
18. Twierdzenie Banacha-Tarskiego446
18.1. Zbiory paradoksalne446
18.2. Twierdzenie Banacha-Tarskiego452
Komentarze456
Bibliografia458
Skorowidz460
Spis nazwisk466

1.Zbiory,relacje,funkcje

Dlaindeksowanejrodzinyzbiorów(Xj:j∈J)możemywprowadzićpojęcie

produktu,czylizbioru

Xj={f∈

JX:f(j)∈Xjdlakażdegoj∈J}j

j∈J

gdzieXj⊆Xdlakażdegoj∈J.Wprodukcieindeksowanejrodziny(Xj:j∈J),

dlakażdegoj∈Jmamywnaturalnysposóbzdeﬁniowanąfunkcjęprjzwaną

rzutowaniemnazbiórXj.Rzutowanietojestokreślonewzorem:

prj(f)=f(j)j

gdzief∈Πj∈JXj.

Istniejeścisłyzwiązekmiędzypojęciemiloczynukartezjańskiegozbiorówapo-

jęciemproduktu.Załóżmy,żeXiYsądowolnymizbiorami.Rozważmytakąparę

J={źjj},żeź/=j.Funkcjaιzdeﬁniowanawzoramiι(ź)=Xorazι(j)=Y

określaindeksowanąrodzinęzbiorów.Jejproduktskładasięzewszystkichtakich

funkcjif,żef(ź)∈Xorazf(j)∈Y.Tymsamymkażdatakafunkcjawyznacza

jednoznacznieparę(f(ź)jf(j))ziloczynukartezjańskiegoX×Y.Nietrudnoza-

uważyć,żejesttakżenaodwrót:dowolnaparauporządkowana(xjg)∈X×Y

wyznaczajednoznacznieelementproduktutejindeksowanejrodzinyzbiorów.Tym

elementemjesttakafunkcjaf,żef(ź)=xorazf(j)=g.Takwięcmożnaprzy-

jąć,żeiloczynkartezjańskidwóchzbiorówjestszczególnymprzypadkiemproduk-

tu.Podobnerozważaniamożnaprzeprowadzićdlailoczynukartezjańskiegotrzech

zbiorów,czterechzbiorówitd.

Przedstawionepowyżejsposobytworzenianowychzbiorów,naprzykładza

pomocązasadywycinaniaczyteżsumowania,niewystarczająjednakdozdeﬁnio-

wanianiektórychobiektówmatematycznych,mimożepowinnyonebyćrozważane

(chociażbyzewzględunato,żeoichistnieniumówinamintuicja).Wszczegól-

nościniepustościproduktuzbiorówniepustychniedasięuzasadnić,takjakto

byłoziloczynemkartezjańskimdwóchzbiorów,zapomocądostępnychnamdo

tejporyśrodków.Dlategoprzyjmujemywteoriimnogościnastępującypostulat

(aksjomat):

Pewnikwyboru.JeśliRjestrodzinązbiorówniepustych,toistniejetakafunkcja

f:RąUR,żef(R)∈RdlakażdegoR∈R.

Funkcjęfspełniającąpowyższywaruneknazywamyfunkcjąwyborudlaro-

dzinyR.

Najprostsząkonsekwencjąpewnikawyborujestnastępującetwierdzenie:

Twierdzenie1.8(Twierdzenieoprodukcie).Jeśli(Xj:j∈J)jesttaką

indeksowanąrodzinązbiorów,żeXj/=∅dlakażdegoj∈J,to

j∈J

Xj/=∅.

Dowód.NamocypewnikawyboruzastosowanegodorodzinyR={Xj:j∈J}

istniejetakafunkcjaf:RąUR,żef(R)∈RdlakażdegoR∈R.Takwięc

Brak wyników

Teoria mnogości

Treść książki

Znajdź bibliotekę blisko siebie, i uzyskaj dostęp do ebooka w systemie IBUK Libra