Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.Równaniakonstytutywne
gdzieki=ki(N1,N2,N3)–sąfunkcjamiskalarnymipodstawowychniezmienni-
kówtensoraD,natomiastIjesttensoremjednostkowymkulistym0TensoryD
iImożnazapisać
D=dijeiej;I=δijeiej
(10504)
Składowesymetrycznegotensoraprędkoścideformacjiwynoszą
d
ij
=
1
2
⎛
⎜
⎜
⎝
∂
∂
v
x
i
j
+
∂
∂
x
v
j
j
⎞
⎟
⎟
⎠
(10505)
NiezmiennikitensoraprędkoścideformacjiDmożnazapisaćwnastępu-
jącejpostaci[1,9,11,13,14,20,21]
N
1
=
tr
D
=
div
v
r
;
N
2
=
1
2
[
N
1
2
−
N
2
]
;
N
2
=
trD
2
;
N
3=
det
D
(10506)
lubwpostacidogodniejszejdoliczenia[1,14]
N1=dii,
N2=d22d33–d23d32+d33d11–d31d13+d11d22–d12d21
(10506a)
N3=d11(d22d33–d23d32)–d12(d21d33–d23d31)+d13(d21d32–d22d31)
NiezmiennikiNisąwspółczynnikamirównaniacharakterystycznego[1,9,11,
14,19,20,21]
det(
D
−
ΛI
)
=
0
∨
Λ
3
−
N
1
Λ
2
+
N
2
Λ
−
N
3
=
0
(10507)
zktóregomożnawyznaczyćtrzygłówneskładoweΛisymetrycznegotensora
prędkoścideformacjiD,zgodnieztwierdzeniemHamiltona–Caleya[1,19]0
Jeżelizałożyć,żegęstośćpłynujeststała,torównanietensorowe(10503)
definiujecieczReinera–Rivlina[20]0Zrównania(10503)wynika,żenajbardziej
ogólnymzwiązkiemliniowymmiędzytensoremnaprężeniaitensoremprędko-
ścideformacjiDjestzależność
T=k0I+k1D
(10508)
Jeżeliprzyjąć[1,11,14,20,21],to:
k0=–P+λdivv;
k1=2μ
(10509)
gdzie:P–ciśnienietermodynamiczne;λ–współczynnikilepkościobjętościowej;
μ
′
=
λ
+
2
/
3
μ
–lepkośćobjętościowa;μ–lepkośćpostaciowa(dynamiczna)0
Otrzymamywówczasnastępującerównanie
T
=
⎡
⎢
⎣
−
P
−
⎛
⎜
⎝
2
3
µ
−
µ
′
⎞
⎟
⎠
div
v
⎤
⎥
⎦
I
+
2
µ
D
(105010)
19
