Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.10.Strumieńidywergencjapolawektorowego
Podstawiającotrzymanązależnośćwewzorze(1.82)iuwzględniając,żeobjętość
prostopadłościanu∆υ=dxdydz,otrzymujemy
div
A∇
=
⋅
A
=
∂
∂
A
x
x
+
∂
∂
A
y
y
+
∂
∂
A
z
z
(1.84)
JeżelidywergencjapolawektorowegoAwkażdympunkciePpewnego
obszarujestrównazeru,topoleAnazywamybezźródłowymwtymobszarze.Jest
torównoważnetemu,żestrumieńpolaAprzezdowolnąpowierzchnięzamkniętą
znajdującąsięwrozpatrywanymobszarzejestrównyzeru.Jeślidywergencjapola
AwpewnympunkciePjestróżnaodzera,tomówimy,żepoleAmawpunkcieP
źródło.Przykładempolabezźródłowegojestwektorindukcjipolamagnetycznego,
apolaźródłowego–wektorindukcjipolaelektrycznego.
Formułyzwiązanezdywergencją
Dywergencja:
•wektorastałegoC
•iloczynustałejkiwektoraA
•sumywektorówAiB
∇
⋅C
=
0
(1.85a)
∇
⋅
(
k)
A
=
k
∇
⋅
A
(1.85b)
∇
⋅
(
A
+
B
)
=
∇
⋅
A
+
∇
⋅
B
(1.85c)
•iloczynuskalaraViwektoraA
∇
⋅
(
V
A)
=
V
∇
⋅
A
+
A
⋅
∇
V
•gradientuskalaraVrównasięlaplasjanowifunkcjiV
∇
⋅∇
V
=
∂
∂
x
(
|
k
∂
∂
V
x
N
|
)
+
∂
∂
y
(
|
|
k
∂
∂
V
y
N
|
|
)
+
∂
∂
z
(
|
k
∂
∂
V
z
N
|
)
=
∇
2
V
•rotacji
3A
∇
⋅
(
∇
×
A
)
=
0
•iloczynuwektorowego
∇
⋅
(
A
×
B
)
=
B
⋅
(
∇
×
A
)
−
A
⋅
(
∇
×
B
)
•wewspółrzędnychwalcowych
∇
⋅
A
=
1
∂
(
rA
r
)
+
1
∂
A
θ
+
∂
A
z
r
∂
r
r
∂
θ
∂
z
•wewspółrzędnychsferycznych
∇
⋅
A
=
r
1
2
∂
(
r
∂
2
r
A
r
)
+
r
sin
1
θ
∂
(sin
θ
A
θ
)
+
1
∂
A
φ
∂
θ
r
sin
θ
∂
φ
(1.85d)
(1.85e)
(1.85f)
(1.85g)
(1.85h)
(1.85i)
Przykład1.11.Wyznaczdywergencjęwektorawodzącegowprzypadkudwu-(2D)itrój-
wymiarowym(3D).
Rozwiązanie.Wprzypadku3Dmamyr=1xx+1yy+1zz,zatem
3Określenierotacjiznajdujesięwpodrozdziale1.11(s.49).
45
