Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Elementylogikimatematycznej
Jeżelif(x)jestjakąśfunkcjązdaniową,tomałykwantyfikatoroznaczamy
symbolemV
f(x)iczytamy:istniejetakiex,żef(x)lub:dlapewnegoxza-
x
chodzif(x).Zdanietakieoznaczazatem,żedlapewnegoelementuzezbioru
dopuszczalnegozachodziwarunekf(x).
DużykwantyfikatoroznaczamysymbolemA
f(x)iczytamy:dlakażde-
x
goxzachodzif(x)lub:dlawszystkichxzachodzif(x).Zdanietooznacza,
żecokolwiekpodstawiamyzaxzezbiorudopuszczalnego,tozachodzif(x).
Małykwantyfikatoroznaczasięrównieżsymbolem∃
lub∃x,natomiast
x
duży–symbolem∀
x
lub∀x.Zauważmydalej,żejeżelif(x)jestfunkcją
zdaniową,towyrażenieA
f(x)czyteżV
f(x)jestjużzdaniem,bowiem
x
x
zmiennaxzostałazwiązanakwantyfikatorem.
Jeżelimamyfunkcjęzdaniowąwiększejliczbyzmiennych,tomożemy
jąpoprzedzićwiększąliczbąkwantyfikatorów,tymniemniejliczbakwanty-
fikatorówniemożeprzekroczyćliczbyzmiennych.
Dlaprzykładurozważmyfunkcjęzdaniowąf(xjyjz)trzechzmiennych.
Wtedy:
A
f(xjyjz)jestfunkcjązdaniowązmiennychyiz,
x
A
V
f(xjyjz)jestfunkcjązdaniowązmiennejz,
x
y
A
x
A
x
V
y
f(xjyjz)jestzdaniem.
Zwróćmyterazuwagęnato,żewpraktyceczęstoużywamytzw.kwan-
tyfikatorówoograniczonymzakresie,wyszczególniającpodkwantyfi-
katoremzbiór,jakiprzebiegajązmienne.Możetozmienićwartośćlogiczną
rozważanychwyrażeń.
Przykład1.5
Rozważmyfunkcjęzdaniowąo(x),określonąnastępująco:
o(x):x>x
2.
Jeżeliterazfunkcjętępoprzedzimydużymkwantyfikatorem,tootrzymamy
zdanie
^
x
x>x2.
Możemysiędomyślić,żezbioremdopuszczalnymjesttuzbiórliczbrzeczy-
wistychR.Powyższewyrażenie(zdanie)możemywięcnapisaćwpostaci
x∈R
^
x>x2.
Jesttooczywiściezdaniefałszywe,bowystarczyprzyjąćnp.x=2.
14
