Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.Relacjapreferencji
11
Wypukłośćrelacjipreferencjioznacza,żejeślikonsumentuważa,żekoszyk
gjestlepszyniżkoszykx,togjestlepszyoddowolnejkombinacjiwypukłejw
koszykówxig(czyliw=ox+;g,gdzieo+;=1).
Definicja2.2.10.NiechwpolupreferencjiXbędziedanyzbiórA⊂X.Koszyk
x∗∈AnazywamykoszykiemoptymalnymwzbiorzeA,jeśliniejestgorszy
odżadnegoinnegokoszykategozbioru,czyli
∀x∈A:xźx∗.
Uwaga2.2.2.
Powyższadefinicjaniegwarantuje,żekoszykoptymalnybę-
dziejedyny.WprzypadkuistnieniawzbiorzeAinnegokoszykaoptymalnegox∗∗,
międzytymikoszykamimuszązachodzićrelacjex∗źx∗∗orazx∗∗źx∗,zatem
x∗∼x∗∗,czylikoszykioptymalnewzbiorzeAmusząbyćindyferentne.Istnienie
orazjednoznacznośćkoszykaoptymalnegowzbiorzeA⊂Xgwarantujeponiższe
twierdzenie.
Twierdzenie2.2.1.NiechX⊂On—polepreferencjikonsumenta.Wtedydla
dowolnegoniepustegozbioruA,A⊂X,zachodzi:
1.Jeślirelacjapreferencjijestciągłanaprzestrzenitowarów,zbiórAjest
zbioremzwartymwX,towAistniejeprzynajmniejjedenkoszykoptymalny;
wszystkieoptymalnekoszykitworzązwartypodzbiórzbioruA.
2.Jeślirelacjapreferencjijestciągłaiwypukłanawypukłejprzestrzenito-
warów,zbiórAjestzbioremwypukłymizwartymwX,towAistnieje
przynajmniejjedenkoszykoptymalny;wszystkieoptymalnekoszykitworzą
zwartyiwypukłypodzbiórzbioruA.
3.Jeślirelacjapreferencjijestciągłaisilniewypukłanawypukłejprzestrzeni
towarów,zbiórAjestzbioremzwartymiwypukłymwX,towAistnieje
dokładniejedenkoszykoptymalny.
Przykład2.2.4.NiechwX=O2będzieokreślonarelacjapreferencjipomię-
dzykoszykamix=(x1,x2),g=(g1,g2)następująco:
xźg⇐⇒ax1+bx2<ag1+bg2,
gdziea,b>0.Mamyzatem
x∼g⇐⇒ax1+bx2=ag1+bg2.
Załóżmyponadto,żezbiórAjestzbioremograniczonymosiamiukładuorazprostą
x1+x2=c,gdziec>0(rys.2.2.1).Wyznaczymykoszykioptymalnewzbiorze
Azewzględunarelację„ź”.
Krzywąobojętnościwzględemkoszykax∈Xbędziezbiór
Kx={g∈X:g∼x}={g=(g1,g2):ag1+bg2=ax1+bx2}.
Załóżmy,żedlazadanegox=(x1,x2)mamyax1+bx2=d,d>0.Wtedy
Kx={g=(g1,g2):ag1+bg2=d}.
