Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
2.Relacje.Teoriapreferencjikonsumenta
Definicja2.1.13.KażdyzbiórR⊂X×Ynazywamyrelacjądwuargumen-
tową(dwuelementową)określonądlaelementówzbiorówXiY.
Mówimy,żeelementx∈XjestwrelacjiRzelementemg∈Y,jeśli(x,g)∈R.
FakttenzapisujemyrównieżwpostacixRg.
Przykład2.1.1.NiechX={0,1},Y={a,b}.WtedyR1={(0,a),(1,a),
(0,b)},R2={(0,a),(1,a),(0,b),(1,b)}sąrelacjamiokreślonymidlaelementów
zbiorówX,Y.
Definicja2.1.14.RelacjęRnazywamyokreślonąnazbiorzeA(mamywte-
dyX=Y=A),jeśliR⊂A×A.
Definicja2.1.15.RelacjęR⊂A×Anazywamyzwrotną,jeśli
∀x∈A:(x,x)∈R,
symetryczną,jeśli
∀x,g∈A:[(x,g)∈R=⇒(g,x)∈R],
antysymetryczną,jeśli
∀x,g∈A:[(x,g)∈R∧(g,x)∈R=⇒x=g],
przechodnią,jeśli
∀x,g,z∈A:[(x,g)∈R∧(g,z)∈R=⇒(x,z)∈R],
spójną(zupełną),jeśli
∀x,g∈A:[(x,g)∈R∨(g,x)∈R].
(2.1.2)
(2.1.3)
(2.1.4)
(2.1.5)
(2.1.6)
Definicja2.1.16.RelacjęR⊂A×Azwrotną,symetrycznąiprzechodnią
nazywamyrelacjąrównoważności.Dladowolnegox∈Azbiór
[x]={g∈A:(x,g)∈R}
(2.1.7)
nazywamyklasąrównoważności(abstrakcji)elementuxwzględemre-
lacjiR.Elementxnazywamyreprezentantemklasy[x].
Uwaga2.1.1.Pojęcierelacjidwuelementowejmożnarozszerzyćdorelacji
n-elementowejjakopodzbioruiloczynukartezjańskiegonniepustychzbiorówX1,
X2,...,Xn,podobnieokreślamyn-elementowąrelacjęnazbiorzeA.
Przykład2.1.2.
NiechX=Y=R.RelacjęRnazbiorzeXokreślamy
następująco:dlax,g∈X
xRg
⇐⇒
x<g.
WtedyRskładasię,przykładowo,zelementów(0,2),(1,6),....Zbiórwszystkich
tychelementówmożemyzaznaczyćnapłaszczyźnierzeczywistejR2jakopółpłasz-
czyznępłaszczyznyR2,położonąnadwykresemprostejg=x(rys.2.1.1).Zbiór
takinazywanyjestwykresemrelacji.
