Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Zbiory.Relacje
5
Definicja2.1.5.Otoczeniempunktux∈XopromieniuT>0nazywamy
zbiór
O(x,T)={g∈X:p(x,g)<T}.
Definicja2.1.6.ZbiórA⊂XnazywamyzbioremograniczonymwX,jeśli
istniejeT>0takie,żeA⊂O(x,T)dlax∈X.
PrzykładamizbiorówograniczonychwRsąprzedziały(a,b),(a,b),(a,b>,
(a,b>.
Definicja2.1.7.Punktx∈A⊂Xnazywamypunktemwewnętrznym
zbioruA,jeśliistniejeT>0takie,żeAzawierarównieżO(x,T).Zbiórpunktów
wewnętrznychzbioruAnazywamyjegownętrzemioznaczamyintA.
Definicja2.1.8.ZbiórA⊂XnazywamyzbioremotwartymwX,jeśli
A=intA.
Wnętrzemn-wymiarowegoorthantuOnjestzbiór:
intOn={x=(x1,x2,...,xn):∀ź=1,2,...,n,xi>0}.
ZbioramiotwartymiwRsąnp.przedziałyotwarte(a,b),(a,∞),(−∞,b),przy-
kładamizbiorówotwartychwRnsązbioryRn,Rn
+,Rn
1.
Definicja2.1.9.Punktx∈A⊂Xnazywamypunktembrzegowymzbioru
A,jeślidowolneotoczeniepunktux∈∂AzawierapunktynależącedozbioruA,
jakipunktynienależącedoA.ZbiórpunktówbrzegowychzbioruAnazywamy
jegobrzegiemioznaczamy∂A.
Brzegiemn-wymiarowegoorthantuOnjestzbiór
∂On={x=(x1,x2,...,xn):∃ź=1,2,...,n,xi=0}.
Definicja2.1.10.Zbiórzawierającyswójbrzegnazywamyzbioremdo-
mkniętymwX.
Definicja2.1.11.PonieważograniczamyrozważaniadoX=Rnijegopod-
zbiorów,przyjmujemy,żezbiórA⊂Xnazywamyzbioremzwartym,jeślijest
domkniętyiograniczonywX.
Szczególnąklasęzbiorówstanowiązbiorywypukłe,ponieważdlazbiorówwy-
pukłychzachodziszeregwłasności,któreniesąspełnionewdowolnymzbiorze.
Definicja2.1.12.ZbiórAnazywamyzbioremwypukłym,jeślijegoelementy
spełniająwarunek
∀a,b∈A,t∈(0,1>:ta+(1−t)b∈A.
Warunekpowyższyoznacza,żejeślidwaelementynależądozbioruwypukłego,
tonależydoniegorównieżcałyodcinekłączącytepunkty.
Przykładamizbiorówwypukłychsą:dowolnyprzedziałrzeczywistyotwarty,
domkniętyobustronnielubjednostronnie,kołootwartelubdomkniętenapłasz-
czyźnierzeczywistej,kulaczyelipsoidawprzestrzenitrójwymiarowejitp.
