Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Kresemgórnym(supremum)ograniczonegozbioruAnazywamy
najmniejsząliczbęograniczającątenzbiórzgóryioznaczamysupA.
KresydolnyigórnymogąbyćelementamizbioruA,bądźteżelemen-
taminienależącymidozbioruA.
Przykład1040
DlazbioruA={x∈R:|x-1|≤1}={x∈R:0≤x≤2}infA=0orazsupA=2.
ObydwakresysąelementamizbioruA.
Przykład1050
DlazbioruB={x∈R:x
2-4<0}={x∈R:-2<x<2}infB=-2orazsupB=2.
WtymprzypadkukresyzbioruBnienależądozbioruB.
Przykład1060
DlazbioruR
+kresemdolnymjest0,infR+=0,(0∉R+),natomiastkresu
górnegozbiórtennieposiada,gdyżjestnieograniczonyzgóry.
Zbioryliczbowemogąbyćotwarte,np.przedziały
(a,b)={x∈R:a<x<b},(a,∞)={x∈R:x>a},(-∞,b)={x∈R:x<b},
domknięte,m.in.przedziały〈a,b〉={x∈R:a≤x≤b},〈a,∞)={x∈R:x≥a},
(-∞,b〉={x∈R:x≤b}lubteżaniotwarte,anidomknięte,np.
(a,b〉={x∈R:a<x≤b},〈a,b)={x∈R:a≤x<b}.
Zapomocąprzedziałówliczbowychdefiniujesiępojęcieotocze-
niaisąsiedztwapunktux
0∈R.Otoczeniempunktux
0∈Ropro-
mieniuδ>0nazywamyprzedziałU(x
0,δ)=(x
0-δ,x
0+δ),natomiast
sąsiedztwempunktux
0∈Ropromieniuδ>0nazywamyzbiór
S(x
0,δ)=U(x
0,δ)\{x
0}=(x
0-δ,x
0)∪(x
0,x
0+δ).Pojęciatewykorzystu-
jesięwdefinicjachpojęćzwiązanychzbadaniemfunkcjim.in.granicy
wpunkcie,ciągłościfunkcjiiekstremówlokalnychfunkcji.
Nazbiorachmożnawykonywaćróżneoperacjematematyczne.Poni-
żejprzedstawionesąpodstawowedefinicjeznimizwiązane,przyczym
zakładamy,żewszystkierozpatrywanezbiorysąpodzbioramipewnego
ustalonegozbioruzwanegoprzestrzeniąioznaczonegosymbolemX.
Mówimy,żezbiorysąidentyczne(równe)tzn.A=B,gdykażdyele-
mentzbioruAjestelementemzbioruBiodwrotnie.
16
Zagadnieniawstępne
