Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
11.2.RÓWNANIARÓŻNICZKOWELINIOWEPIERWSZEGORZĘDU
11
zwyrazówniepojawiasięiloczynzmiennejzależnejiktórejśzjejpochodnych2.Tak
więcrównanie
d2y
dx2
+a1(x)
dy
dx
+a2(x)y=f(x)
jestliniowe,podczasgdyrównania
y
dy
dx
+x=0
oraz
dy
dx
+xy2=0
sąnieliniowe.Okazujesię,żeliniowerównaniaróżniczkowerozwiązujesięzregułydu-
żołatwiejniżnieliniowe.Cowięcej,wieleprawprzyrodyzdużądokładnościąmożemy
wyrazićzapomocąliniowychrównańróżniczkowych,wzwiązkuzczymwystępująone
bardzoczęstowzagadnieniachzwiązanychzzastosowaniami.
Ogólnapostaćliniowegorównaniaróżniczkowegopierwszegorzęduto
dy
dx
+p(x)y=q(x),
a<x<b,
(2.1)
gdziep(x)iq(x)sąpewnymiznanyminamfunkcjami.Równanietomożemywogólnej
sytuacjirozwiązaćzapomocączynnikacałkującego,którywtymprzypadkumożemy
łatwoznaleźć.Przekształćmynapierwrównanie(2.1)dopostaci
[p(x)y–q(x)]dx+dy=0,
anastepniepomnóżmyprzezµ(x)—domniemanyczynnikcałkujący:
[µ(x)p(x)y–µ(x)q(x)]dx+µ(x)dy=0.
Jeżelirównanie(2.2)mabyćrównaniemzupełnym,musizachodzićrówność
∂µ
∂x
=
∂y
∂
[µ(x)p(x)y–µ(x)q(x)]=p(x)µ(x),
awięc
(2.2)
dlnµ(x)
dx
=p(x).
Zostatniegorównaniamożemyobliczyćµ(x);otrzymujemyµ(x)=e∫p(x)dx.Jeżeli
terazpomnożymy(2.1)przeztakiczynnikcałkujący,dostaniemy
dy
dx
e∫p(x)dx+p(x)ye∫p(x)dx=q(x)e∫p(x)dx.
Zauważcie,żelewastronategorównaniatopochodnaye∫p(x)dxpozmiennejx,azatem
dx[ye∫p(x)dx]=q(x)e∫p(x)dx,
d
2Powyższadefinicjajestmałoprecyzyjnaimożewprowadzaćwbłąd;równanieróżniczkowejestli-
niowe,gdyjest(algebraicznym)równaniemliniowymnazmiennązależnąijejpochodne,traktowanejako
niezależneodsiebiezmienne(przyp.tłum.).
