Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
11.RÓWNANIARÓŻNICZKOWEZWYCZAJNE
PRZYKŁAD5
Wrozdziale13natkniemysięnarównaniapostaci
dy
dx
=
x–y
2y
.
Znajdziemyrozwiązanieogólnetegorównania.
Rozwiązanie:Zarówno2y,jakix–ysąfunkcjamijednorodnymistopniapierwszego,podstawia-
mywięcy=wx,byotrzymać
x
dw
dx
=
w(1+w)
1–w
,
azatem
(1–w)dw
w(1+w)
=
dx
x
.
Poscałkowaniuotrzymujemy
(x+y)2=cy.
ZADANIADOPODROZDZIAŁU11.1
1.Wykaż,żefunkcjawlewejkolumniejestrozwiązaniemrównaniawprawejkolumnie.
(a)y=x2+cx,
x
dy
dx
=x2+y.
(b)y=c1cosx+c2sinx,
d2y
dx2
+y=0.
(c)y=c1e2x+c
2e–3x,
y=x
d2y
dx2
+
dy
dx
dy
dx
+d
–6y=0.
dx
y
2
.
(d)y=cx+c2,
2.Rozwiążnastępującerównaniaróżniczkowe:
(a)
dy
dx
=–
x–1
y
.
(b)axd
dx
y
+2y=xyd
dx
y
.
(c)
ds
dt
=15–16s;
s=0dlat=0.
3.Rozwiążrównaniex2dy/dx=y2dx/dy.
4.Miedzianąkulkęotemperaturze2000Cwrzuconodowiadrazwodąotemperaturze200C
(wiadrojestnatyleduże,żewrzuceniekulkiniezmienitemperaturywody).Posześciu
minutachtemperaturakulkijestrówna1000C.Ileczasutrzebajeszczeczekaćnato,bykulka
osiągnęłatemperaturę250C?SkorzystajzprawaNewtona,którewtymprzypadkumówi,
żedT/dt=–k(T–20),gdzieTjesttemperaturąmierzonąwstopniachCelsjusza,kzaś
pewnąstałąempiryczną.
5.Następująceprosterównanieopisujewzrostpopulacji:dx/dt=ax–bx2.Przezx(t)ozna-
czamylicznośćpopulacji,aibsąpewnymistałymiempirycznymi.Znajdźrozwiązanietego
