Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
33
Ćwiczenie1.21.Wyznaczyć(oileistnieją)asymptotyukośnefunkcjif
(rys.1.26),gdzie
f(x)=
x2+1
x2
.
Rozwiązanie.Ponieważlimx→∞1
x2
=0,więc
x→∞
lim
f(x)=lim
x→∞
1+1
1
x2
=
1+lim
x→∞
1
x2
1
=
1
1
=1.
y
1
0
y=1
x
Rysunek10260
Widzimyponadto,żefunkcjafjestparzysta.Stąd
x→1∞
lim
f(x)=lim
x→∞
f(x)=1.
Azatemprostay=1jestasymptotąpoziomąfunkcjifzarównow∞,jakiw−∞.
I
Ćwiczenie1.22.Wyznaczyć(oileistnieją)asymptotyukośnefunkcjif
(rys.1.27),gdzie
f(x)=x+arctgx.
Rozwiązanie.Funkcjaarctg,jakofunkcjaodwrotnadofunkcjitgokreślonej
irosnącejnaprzedziale(−π
2jπ
2),jestfunkcjąrosnącą.Stądx+arctgx>xdla
x>0.Mamywięc
x→∞
lim
f(x)=∞j
gdyżlimx→∞x=∞.Azatemfunkcjafniemaasymptotypoziomejw∞.
Obliczymygranicę
A=lim
x→∞
f(x)
x
=lim
x→∞(1+
arctgx
x
)=1+lim
x→∞
arctgx
x
.
Ponieważfunkcjaarctgjestograniczona(przezwartości−π
2orazπ
2),więc
x→∞
lim
arctgx
x
=0.
