Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
27
NiechM<0.Przyjmijmyδ=−6
M>0.Wówczasdlaargumentówxtakich,że
5−δ<x<5,mamyx+1<6oraz1
x15<1
1δ.Stąd
x+1
x−5
<−
6
δ
=M.
NamocydefinicjiCauchy’egogranicyniewłaściwejlewostronnejfunkcjiwpunkcie
mamy
x→51
lim
f(x)=−∞.
Analogiczniepokazujemyrównośćlimx→5+f(x)=∞.Prostax=5jestwięc
asymptotąpionowąfunkcjif.
I
Ćwiczenie1.17.Sprawdzić,czyprostax=1jestasymptotąpionowąfunkcjif
(rys.1.20),gdzie
f(x)={
√x−1dlax>1
x11
1
dlax<1
.
Rozwiązanie.Zauważmy,żefunkcjafjestokreślonawpunkciexo=1oraz
x→1+
lim
f(x)=f(1)=0j
gdyżfunkcjapierwiastkowajestfunkcjąciągłą.Sprawdzimyistnienieiwartość
granicy
x→11
lim
f(x).
y
0
1
x
Rysunek10200
Pokażemy,żepowyższagranicajestrówna−∞.NiechM<0.Przyjmijmyδ=
−1
M>0.Wtedydla1−δ<x<1mamyx−1>−δ,czyli
f(x)=
x−1
1
<−
1
δ
=M.
Azatemlimx→11f(x)=−∞,czyliprostax=1jestasymptotąpionowąfunk-
cjif.
I
