Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Granicaiciągłośćfunkcji
19
Ćwiczenie1.11.Znaleźć(oileistnieją)parametryaibtakie,abyfunkcja
f(x)={x
2+(a11)x1a
x11
bdlax=1
dlax/=1
byłaciągła.
Rozwiązanie.Ponieważfunkcjexl→x2+(a−1)x−aorazxl→x−1są
ciągłe(niezależnieodwartościparametrua),więcfunkcjafjestfunkcjąciągłą
nazbiorzeR\{1}jakoilorazdwóchfunkcjiciągłych.
Abyfunkcjafbyłaciągławpunkciexo=1,musizachodzićwarunek
x→1
lim
f(x)=b.
Ponieważ
x→1
lim
f(x)=lim
x→1
x2+(a−1)x−a
x−1
=lim
x→1
$$$
(x−1)(x+a)
$$
x−1
$
$
=lim
x→1
(x+a)=1+aj
więcfunkcjafbędzieciągławpunkciexo=1(itymsamymciągłanazbiorze
R),oiletylko1+a=b.Naprzykładdlaa=5ib=6funkcjafjestciągła.I
Ćwiczenie1.12.Zbadaćciągłośćisporządzićwykresfunkcjif,gdzie(rys.1.12–
1.14):
1)f(x)=x−[x],
2)f(x)=[x]+[−x],
3)f(x)=(−1)[x].
Rozwiązanie
1)Dziedzinąfunkcjifjestzbiórliczbrzeczywistych.Zwłasnościczęścicałkowitej
[x+1]=[x]+1,x∈R,mamy
f(x+1)=x+1−[x+1]=x+1−([x]+1)=x−[x]=f(x).
Funkcjafjestwięcfunkcjąokresowąookresierównym1.Stądwystarczy
zbadaćciągłośćfunkcjifnaprzedziale[0j1),przyczymwpunktachx=0
ix=1wystarczywyznaczyćgranicejednostronne.Zdefinicjiczęścicałkowitej
mamy
f(x)=xdlax∈[0j1).
Widzimy,żefunkcjafnaprzedziale[0j1)jestfunkcjąliniową.Stądfunkcjaf
jestciągławprzedzialeotwartym(0j1).Ponadto
x→o+
lim
f(x)=lim
x→o+
x=0oraz
x→11
lim
f(x)=lim
x→11
x=1.
Zauważmy,żef(0)=f(1)=0.Funkcjafniejestzatemciągławpunktach0
i1.Dokładniej,funkcjafjestprawostronnieciągławpunkciexo=0,alenie
jestlewostronnieciągławpunkciexo=1.
