Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
1.Granicaiciągłośćfunkcjijednejzmiennej
Przyjmującδ=min{ε
7j1},mamy
|
|
|
|
x3−8
x−2
−12
|
|
|
|
<7δ<¡
7·
ε
¡
7
=εj
oiletylko|x−2|<δ.
I
Uwaga1.3
i)Dlafunkcjif:N→Rdanej,naprzykład,wzoremf(n)=1
nniemożemy
obliczyćgranicylimx→n
of(x),gdzienojestdowolnąliczbąnaturalną,gdyż
dziedzinaDf=Nfunkcjifniemapunktówskupienia.
ii)Dlafunkcjif:G→R,gdzieG={1
n:n∈N},danejwzoremf(1
n)=3+1
n2
możemyobliczyćgranicęlimx→of(x),gdyżxo=0jestpunktemskupienia
zbioruG.Granicatajestrównalimx→of(x)=3.
Ćwiczenie1.2.KorzystajączdefinicjiHeinegogranicyfunkcjiwpunkcie,poka-
zać,że:
1)lim
2)lim
x→12
x→o
xcos1
x=−1
1
x=0.
2,
Rozwiązanie
1)Przyjmijmyf(x)=1
x,x/=0,iweźmydowolnyciąg(xn)n∈Nowyrazach
zezbioruR\{0j−2}taki,żelimn→∞xn=−2.Korzystającztwierdzenia
ogranicyilorazudwóchciągów,dostajemy
n→∞
lim
f(xn)=lim
n→∞
xn
1
=
n→∞
lim
n→∞
lim
xn
1
=
−2
1
=−
1
2
.
NamocydefinicjiHeinegogranicyfunkcjiwpunkciemamy
x→12
lim
x
1
=−
1
2
.
2)Przyjmijmyf(x)=xcos1
x,x/=0,iweźmydowolnyciąg(xn)n∈Nzbieżnydo
0owyrazachzezbioruR\{0}.
Ponieważ
f(xn)=xncos
xn
1
j
n∈Nj
ciąg(cos1
xn)
n∈N
jestograniczony,alimn→∞xn=0,więcztwierdzeniaogra-
nicyiloczynuciągów,zktórychjedenjestzbieżnydozera,adrugiograniczony,
dostajemy
n→∞
lim
f(xn)=lim
n→∞
xncos
xn
1
=0.
NamocydefinicjiHeinegogranicyfunkcjiwpunkciemamy
x→o
lim
xcos
x
1
=0.
I
