Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
YoshinoriHamahata
Since1−(1−elt)'k'<tforallt>0,
R.H.S.<
e(xl'k'l1)t
|k|!t5l1
.
TheseensuretheconvergenceofZE,k(sjx).
Hereisaresultaboutthevaluesatnon-positiveintegers.
.
Theorem4.3.Weassumethatx>0ifk>1,andx>|k|+1ifk<0.Then,
thefunctionsl→ZE,k(sjx)hasanalyticcontinuationtoanentirefunctiononthe
wholecomplexs-planeand
ZE,k(−njx)=(−1)nE(k)
n(−x)
holdsforn>0.
Proof.WeexpressZE,k(sjx)asthesumoftwointegrals:
ZE,k(sjx)=
Γ(s)/
2
1
∞
Lik(1−elt)
1+et
e
lxtt5l2dt
+
Γ(s)/
2
o
1
Lik(1−elt)
1+et
e
lxtt5l2dt.
Thefirstintegralconvergesabsolutelyforanys∈Candx>0andcancelsat
non-positveintegersbecause1/Γ(s)doesso.IfRe(s)>1,thenthesecondintegral
canbewrittenas
Γ(s)
1
ż=o
Σ
∞
E
ż
(k)
i!
(−x)
·
i+s
1
j
fromwhichwehaveforanon-negativeintegern
ZE,k(−njx)=(lim
5→ln
Γ(s)(n+s))E
1
n(−x)
(k)
n!
=(−1)nE(k)
n(−x).
Whenk=1,oneobtainsthezetafunctionin(1.1):
ZE,1(sjx)=
Γ(s)/
2
o
∞
et+1
elxt
t5l1dt=2
Σ
n=1
∞
(−1)nl1
(n+x)5
=CE(sjx+1).
WegivetwokindsofexpressionsforZE,k(sjx).
Theorem4.4.ThezetafunctionZE,k(sjx)canbeexpressedasfollows.
(i)Ifs/=1,then
.
(4.1)
ZE,k(sjx)=
s−1
1
m=o
Σ
∞
(m+1)k
1
m+1
Σ
j=o
(−1)j(m+1
j
)CE(s−1jx+j+1).
