Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.PrzestrzenieRniEn
19
ściowąskończonej,przeliczalnejlubnieprzeliczalnejilościkulotwartych.Wyni-
kastąd,żejeżelipunktxnależydozbioruotwartego,tozawierasięwnimwraz
zotaczającągokuląotwartąodostateczniemałympromieniu.Nazwanietej
topologiinnaturalną”nabierasensu,gdywliniowejprzestrzeniRnwprowadzi
sięiloczynskalarnyiwkonsekwencjinormęwektora.(Pojęciatesąhistorycz-
niewcześniejszeibardziejintuicyjneodabstrakcyjnegozbioruotwartego).
•WektorowaprzestrzeńeuklidesowaRn.Jesttotopologicznaprzestrzeń
wektorowaRn,wktórejwprowadzamyeuklidesowyiloczynskalarny,czyliod-
wzorowanieparywektorównaliczbęrzeczywistą,danywzorem
n
(xjg>≡x·g:=
Σ
xigi=x1g1+x2g2+...+xngn.
i=1
Iloczyntenmawłasności:
—x·g=g·x,
—jestliniowywkażdymargumencie,
—x·x>0orazx·x=0wtedyitylkowtedy,gdyx=0=(0j...j0).(E)
Iloczynskalarnyokreślanormę(długość)wektora7
"x":=d(xjx>=
r
|
|
Σ
i=1
n
(xi)2
orazodległośćpunktówxig:
r
|
n
d(xjg)≡"x−g":=
|
Σ
i=1
(xi−gi)2.
DladowolnychwektorówwRnzachodzinierównośćCauchy’ego–Schwarza
(x·g)
2<"x"2·"g"2j
azniejwynikanierównośćbędącaszczególnymprzypadkiemnierównościMin-
kowskiego:
"x+g"<"x"+"g".
Abyudowodnićpierwsząnierówność,bierzemydwadowolnewektoryxig
orazdowolnąliczbęA∈R.Wówczaszachodzi
(x+Ag)·(x+Ag)="g"
2A2+2x·gA+"x"2.
7Zależnieodwygodywektorytejprzestrzenibędziemyoznaczaćx,aichdługość"x"albopismem
pogrubionymxiichdługość|x|.