Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1
Pojęciawstępne
1.1.Przestrzeńtopologiczna
Jeżeli
X
jestzbiorem,zaś
{At}t∈ℑ
,
At⊂X
jestindeksowanąrodzinąpodzbiorów
zbioru
X
,gdziezbiórindeksów
ℑ
możebyćnieprzeliczalny,toiloczynkartezjański
rodzinyzbiorów{At}t∈ℑzdefniowanyjestwzorem
×
t∈ℑ
At={I:T→U
t∈ℑ
At:I(t)∈At}.
Dla
T={1,2}
,
A×B={(a,b):a∈Aib∈B}
,gdzie
(a,b)
oznaczaparęuporząd-
kowaną.
Przestrzeniątopologicznąnazywamyparę
(X,G)
spełniającąnastępująceaksjo-
maty:
–∅,X∈G,gdzie∅oznaczazbiórpusty.
–JeżeliGt∈Gdlat∈ℑ,toUt∈ℑGt∈G.
–JeżeliG1,...,Gn∈Gdlanskończonego,toΠn
i=1Gi∈G.
Rodzinęzbiorów
G
nazywamytopologią,aelementytejrodzinyzbioramiotwar-
tymi.
Przykładyprzestrzenitopologicznych
1.NiechXbędziezbiorem.Para(X,{X,∅})jestprzestrzeniątopologiczną.
2.NiechXbędziezbiorem.Para(X,2X),gdzie2Xoznaczarodzinęwszystkichpod-
zbiorówzbioruX,jestprzestrzeniątopologiczną.
Przestrzeńtopologicznaztopologiąnaturalnądlaprzestrzenimetrycznejbędzie
pokazanawnastępnymrozdziale.
Otoczeniempunktu
p∈A
nazywamydowolnyzbiórotwarty
U(p)
,doktórego
tenpunktnależy.
Rozważmydwieprzestrzenietopologiczne
(X1,G1)
oraz
(X2,G2)
.Funkcję
f:X1→X2
nazywamyciągłąwpunkcie
x∈X1
jeżelidlakażdegozbioruotwartego
W⊂X2
takiego,że
f(x)∈W
,istniejezbiórotwarty
U⊂X1
będącyotoczeniem
punktux,czylix∈U,orazwprzypadkuktóregozachodzif(U)⊂W.
13
